[毕业论文] 矩体的分解理论及其应用 [复制链接]

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毕业论文-矩体的分解理论及其应用，共91页，43103字

中文摘要

矩阵可以用来表示线性变换、线性系统，无论是在数学领域还是在工程应用

领域，矩阵都是极其重要的数学工具。在信号处理中，矩阵可以用来表示二维的

平面信号，矩阵理论中的许多结果都可以用来直接处理这样的二维信号，提取数

据的有用信息，如矩阵的奇异值分解(SVD)。随着计算机科学的快速发展，信号

处理领域所需处理的数据对象更是越来越庞大和复杂，其中有一类数据可以被统

一视为高维的数组，其每个元素由多个指标来索引。对于这样的数据，现阶段已

经具有许多处理的方法，但它们基本都是将数据转换成矩阵的形式之后再处理的，

没有深入挖掘和利用整个数据结构整体的性质。为此，我们考虑将矩阵推广到更

高维的形式，建立一套和高维数组相适应的高阶矩阵的理论，我们称这样的推广

为矩体。矩阵理论中最重要代数运算为矩阵的乘法，有了它，我们可以定义矩阵

的逆，矩阵的特征值，矩阵的分解等十分重要的概念。为此，我们首先给出矩体

的乘法和其代数结构，并将矩阵的相关理论推广到矩体的形式。在实际的应用中，

鉴于矩体的分解具有重要的作用，本文将重点讨论矩体的分解，并将其运用到实

际的信号处理例子之中以检验它的性质。

关键字 矩体空间;矩体乘法;矩阵 SVD;矩体的 SVD 分解;矩体的低秩近似

目录

第 1 章 引言.1

1.1 研究目标.......1

1.2 相关研究领域介绍.......2

1.3 矩阵理论概要... .......3

1.4 本文的结构和主要内容安排 ..... 5

第 2 章 矩体的定义、表示及简单运算...6

2.1 矩体的定义....6

2.1.1 N 阶矩体的直观定义....6

2.1.2

2.1.3

域的 n 次张运算7

域的 p 阶 (n1, n2 ,..., n p ) 次张空间...7

2.1.4 N 阶实矩体的代数定义..8

2.2 矩体的表示...9

2.3 矩体的简单运算11

2.3.1 高阶矩体的向量化和矩阵化.......11

2.3.2 矩体的加法、减法、数乘运算和转置.......14

第 3 章 矩体线性映射和矩体乘法......17

3.1 广义线性映射.17

3.2 矩体的乘法运算.......20

3.2.1 矩体的普通乘积.20

3.2.2 两个矩体的外积.21

3.2.3 两个矩体的标量积.......22

3.2.4 矩体和普通矩阵的乘法...22

3.3 矩体的不完全乘法.....24

第 4 章 矩阵相关性质在矩体上的推广..26

4.1 基本的矩体...26

4.1.1 秩为 1 的矩体...26

4.1.2 单位范数矩体...27

4.1.3 方形矩体.......27

4.1.4 对角矩体.......27

4.1.5 低阶矩体和向量的外积...27

4.2 矩体的秩....28

4.2.1 矩体的模式 n 秩.28

4.2.2 矩体的完全秩...29

4.2.3 矩体的完全秩与模式秩的关系.....31

4.3 正交矩体...33

4.4 矩体的特征值和奇异值.......36

4.5 对称的矩体..42

第 5 章 矩体的分解44

5.1 矩阵的奇异值分解...45

5.2 寻求高阶矩体分解的思路.....48

5.2.1 分解思路 1——分解为简单矩体之和......48

5.2.2 分解思路 2——矩体变换的角度..49

5.3 矩阵 SVD 的推广 1——高阶矩体的秩-1 分解....49

5.4 矩阵 SVD 的推广 2——高阶矩体 SVD 分解.....53

5.5 矩体分解的计算实例.56

5.4.1 彩色图像的矩体分解...56

5.4.2 多组分荧光激发-发射光谱数据的分析.....59

第 6 章 总结.....61

插入索引62

表格索引63

参考文献64

致谢....66

声明....67

附录 A..68

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